la potenciación

POTENCIACIÓN

Potenciación o elevación a potencias es la operación que tiene por objeto determinar la potencia de un número.

Potencia de un número es el producto de varios factores iguales a este número, al cual llamamos base de la potencia.

Así:

6 x 6 x 6 x 6 =1296

Es la cuarta potencia de 6.

En esta expresión, la base es 6 y el grado sería 4.

Para indicar que un número ha de elevarse a una potencia, se escribe dicho número y en la parte superior derecha, otro de menor tamaño llamado exponente, el cual expresa con sus unidades, las veces que hay que multiplicar el número por sí mismo.

Para indicar que el número 6 ha de elevarse a la cuarta potencia, como en el caso anterior, pondremos:

6 ⁴, lo cual indica que el 6 ha de multiplicarse 4 veces por sí mismo. Para no equivocarnos: el exponente nos indicará siempre el grado.

La base de una potencia es el número que hay que multiplicar por sí mismo tantas veces como nos indique el grado del exponente.

Es decir: base ^exponente

                       6 ⁴

Potencias de 0 y de 1. – Las potencias de cualquier grado de cero y de 1 son 0 y 1 respectivamente; por ejemplo:

0 ⁴ = 0.0.0.0 = 0 y 1 ⁵ = 1.1.1.1.1 = 1

Potencias con exponente 0 y 1. – La potencia de grado cero de cualquier número se considera siempre igual a 1 (más adelante, veremos por qué). La potencia de grado 1 de cualquier número es siempre igual al mismo número.

Ejemplos:

5 ⁰ = 1; 26 ⁰ = 1; 583 ⁰ =1

5 ¹ = 5; 26 ¹ = 26; 583 ¹ = 583

Ahora bien, teniendo en cuenta la definición de potencia y las propiedades de la multiplicación, deducimos las siguientes consecuencias:

1. -Elevando los dos miembros de una igualdad (el que se encuentra a la derecha del signo igual, y el que se encuentra a la izquierda de éste) a una misma potencia, se obtiene otra igualdad semejante.

Ejemplo:

8 = 4.2

8 ² = (4.2)² = (4.2) (4.2), es decir: 64 = 8.8

2. Lo mismo que nos referimos a las igualdades, lo hacemos a las desigualdades, con lo que, aplicando el mismo principio anterior, es decir: elevando los dos miembros de una desigualdad a una misma potencia, se obtiene otra desigualdad semejante.

Ejemplo: 7 > 5. El signo “>”, significa “mayor que:”

7 ² > 5 ², es decir: 49 > 25.

3. Las potencias sucesivas de cualquier número distinto de cero y de 1, crecen al aumentar el exponente.

Ejemplo: 3 ¹ < 3 ² < 3 ³ < 3 ⁴ < …. El signo” <”, significa “menor que:”; lo cual, es completamente cierto, dado que:

3 < 9 < 27 < 81 < …

Cuadrados y cubos perfectos. – se dice que un número es cuadrado, o cubo, perfecto cuando puede ser obtenido elevando al cuadrado o al cubo un número natural concreto.

Ejemplo:

64 y 49 son cuadrados perfectos, pues 64 = 8 ² y 49 = 7 ²

216 y 343 son cubos perfectos, pues 216 = 6 ³ y 343 = 7 ³

Potencia de un número entero. – Para hallar la potencia de cualquier grado de un número entero, bastará con multiplicarle por sí mismo, tantas veces, como unidades tenga el exponente.

Ejemplo:

6 ⁴ = 6.6.6.6 = 1296; 8 ³ = 8.8.8 = 512.

Potencia de la unidad seguida de ceros. – Es la unidad seguida de tantos ceros como resulten del producto del exponente por el número de ceros de la base.

Ejemplo:

1000 ³ = 1000.1000.1000 = 1000₁ 000.000

100 ⁴ = 100.100.100.100 = 100₁ 000.000

10 ⁵ = 10.10.10.10.10 = 100.000

• Sin ser la unidad seguida de ceros, si se trata de un número en el que la base termina en ceros, pero no se trata de la unidad seguida de ceros, se halla la potencia del grado que sea de la parte significativa, y luego se ponen tantos ceros como resulte de multiplicar el exponente por el número de ceros que tiene la base.

Ejemplo:

125000 ² = (125.1000)² = 125 ².1000 ² = 15.625₁ 000.000

2500 ² = (25.100) ² = 25 ². 100 ² = 6₁ 250.000

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OPERACIONES CON POTENCIAS

Producto de potencias de la misma base. – El producto de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores.

Ejemplo:

a ³ × a ² × a ⁵ = (a. a. a) (a. a) (a. a. a. a. a) =

    a. a. a. a. a. a. a. a. a. a = a ³⁺²⁺⁵ = a ¹⁰

En general: a ^m + a ⁿ = a ^m+n

Cociente de dos potencias de la misma base. – El cociente de dos potencias de la misma base, es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.

Ejemplo:

a ⁵: a ² = a ^5-2 = a ³

Potencia de grado cero de un número. – Es un caso particular del cociente de dos potencias.

Sea por ejemplo el siguiente: a⁴: a ⁴ = a ^4-4 = a ⁰

Ahora bien, por ser el dividendo igual al divisor:

a ⁴: a ⁴ = 1

Si comparamos las dos igualdades resulta:

a ⁰ = 1

La potencia de grado cero de cualquier número entero es igual a la unidad, lo cual confirma lo que ya habíamos visto anteriormente.

Potencia de una potencia. – La potencia de una potencia, es otra potencia de la misma base y cuyo exponente, es igual al producto de los exponentes.

Ejemplo:

(a ⁴) ³ = a ⁴. a ⁴. a ⁴ = (a. a. a. a) (a. a. a. a) (a. a. a. a) =

a ¹²

En general: (a ^m) ⁿ = a ^m.n

Ejemplo:

(3 ²) ⁴ = 3 ². 3 ². 3². 3² – 3 ² es la base con su exponente, pero ésta, a su vez, está elevada a 4 –

Entonces, teniendo en cuenta cómo funciona el producto de potencias de la misma base:

3 ². 3 ². 3 ². 3 ² = 3^2+2+2+2 = 3 ⁸

Luego teniendo de acuerdo con la definición de potencia de una potencia, tendremos:

(3 ²) ⁴ = 3 ^{2. 4} = 3 ⁸

¿Está claro? Es conveniente repasar el ejemplo práctico, y el producto de potencias de igual base.

Potencia de un producto. – Para elevar un producto de distintos factores (bases) a una potencia, se eleva a esta potencia cada uno de los factores del producto.

Ejemplo:

Sea el producto a × b × c, el que vamos a elevar a la cuarta potencia. Operando de acuerdo con la definición de potencia:

 (a. b. c) ⁴ = (a. b. c) (a. b. c) (a. b. c) (a. b. c) =

 a. b. c. a. b. c. a. b. c. a. b. c = (a. a. a. a) (b. b. b. b) (c. c. c. c) = a ⁴. b ⁴ c ⁴

En términos generales, diremos:

(a. b. c) ⁿ = a ⁿ. b ⁿ. c ⁿ

Trabajando con números, en vez de con letras:

(3. 4. 2) ³ = (3. 4. 2) (3. 4. 2) (3. 4. 2) = 3. 4. 2. 3. 4. 2. 3. 4. 2 = (3. 3. 3) (4. 4. 4) (2. 2. 2) = 3 ³. 4 ³. 2³

Terminando la operación sería:

3 ³= 27; 4 ³= 64; 2 ³= 8; es decir: 27 × 64 × 8 = 13824

Cuadrado de la suma de dos números. – El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma del cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.

¡Bonita definición eh…! Lo mejor sería dejarnos en paz de definiciones “de memoria” y ver lo que nos dicen con ejemplos ¿no os parece? Bueno, pues manos a la obra…

Ejemplo:

Veamos: el cuadrado de la suma de dos números ¿no? Bueno, pues vamos a empezar escogiendo los dos números, en nuestro caso el 3 y el 5. Luego tenemos que indicar su suma. Sería algo así como: 3 + 5; y luego tenemos que elevarla al cuadrado, es decir: (3 + 5) ². (Ah, se me olvidaba comentaros que cuando el exponente de la potencia es 2, decimos que elevamos un número, o un conjunto de números al cuadrado, cuando es 3, decimos al cubo, y a partir de ahí, en adelante, es decir; cuando es 4, 5, 6, etc., decimos a la cuarta, a la quinta, a la sexta…).

Volviendo a lo anterior, tenemos la expresión:

(3 + 5) ², la cual, no deja de ser: (3 + 5) (3 + 5)

Si hacemos la operación de multiplicar:

3 + 5 × 3 + 5-

(5. 3) + (5. 5)

(3. 3) + (3. 5)

(3. 3), o 3 ² + 2 veces (5. 3), o (3. 5) + (5. 5), o 5 ²

Si nos acordamos de la definición inicial:

El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma del cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.

Miramos con cuidado el resultado obtenido y: ¡clavado! ¿Si, o sí? ¿Sí? Pues bueno, ahora vamos a intentarlo con letras.

Sí, eso es, con letras. Podemos elegir la que nos de la gana, igual que los números, pero vamos a elegir las más populares, que suelen venir en todos los libros de “Mates” a, y, b.

Veamos; tendremos entonces:

(a + b) ²

Vale, pues hacemos lo mismo que con los números, es decir: multiplicamos (a + b) por      (a +b), dado que:

(a + b) ²= (a + b) (a + b)

a + b × a + b

(a. a) + (a. b) + (b. a) + (b. b)

(a. a), o, a ² + 2 veces (a. b) + (b. b), o, b ²

Hay que tener en cuenta que (a. b) = (b. a), igual que 5. 3 = 3. 5.

Resumiendo lo anterior, nos queda: a ² + 2ab + b ²

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma, por consiguiente, para ceñirnos a la definición, podemos poner:

(a + b) ² = a ² + b ² + 2.a.b

El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma del cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.

Cuadrado de la diferencia de dos números. – Igual que el anterior, pero variando un signo. Es decir: El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a la suma del cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, menos el doble del primero por el segundo.

Veamos pues:

Vamos a trabajar con dos números cualquiera; por ejemplo 6 y 2. Entonces, tendremos:    (6 – 2) ². Esta operación, en sí, puede ser muy sencilla. Basta operar dentro de los paréntesis y luego, elevar al cuadrado el resultado, es decir: 6 – 2 = 4; (4) ² =16.

Pero (4) ², no es una diferencia dentro de los paréntesis, es un número, que puede provenir de una diferencia (10 – 6), (8 – 4),

(7 – 3), …, o de una suma (1 + 3) ², (2 + 2) ², … Lo que realmente nos interesa, es el desarrollo de la operación de elevación de una suma, o una diferencia, al cuadrado. El resultado, va a ser el mismo, pero el desarrollo va a ser distinto.

Volviendo al tema:

(6 – 2) ² = (6 – 2). (6 – 2), lo cual implica:

6 – 2 Respetamos los signos, tal que:

× 6 – 2 (- 2). (- 2) = ( -2. -2) …

(- 2. 6) (-2. -2)

(6. –2) (6. 6)

2(- 2. 6) + (- 2. – 2) + (6. 6)

Quitando paréntesis: 2. -2. 6, o también: -2(2. 6).

( -2. -2) = ( -2)² = 4 = 2 ² Teniendo en cuenta que menos (-) por menos (-) = más (+).

Finalmente: (6. 6) = 6 ²

Colocándolo todo en su sitio, por orden de operación, nos puede quedar algo así como: -2(2. 6) + 2 ² + 6 ²

Luego: (6 – 2) ² = 2 ² + 6 ² – 2(2. 6)

Es decir:

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a la suma del cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, menos el doble del primero por el segundo.

Optando con letras (las mismas de antes):

(a – b) ² = a ² + b ² – 2.a.b

Cubo de la suma y de la diferencia de dos números. – Si ya tenemos el cuadrado de la suma de dos números; el cubo, será el mismo cuadrado, multiplicado por la suma de los dos números.

Veamos el ejemplo:

Sea (a + b) ². Si queremos conocer el desarrollo de (a + b) ³, haremos: (a + b) ². (a + b)

Vamos pues, a llevar a cabo el desarrollo de esta última expresión:

Siendo (a + b) ² = a ² + b ² + 2.a.b

(a + b) ². (a + b) = (a ² + b ² + 2.a.b) (a + b) o, lo que es lo mismo: (a ² +b ² + 2.a.b). a + (a ² + b ² + 2.a.b). b, lo que es igual a:

(a ³ + a. b ² + 2.a ².b) + (a ². b + b ³ + 2.a.b ²) =

Lo que viene a decir: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Con la diferencia, pasaría lo mismo que con la suma, es decir:

(a – b) ³ = (a – b) ². (a – b)

(a – b) ² = (a ² + b ² – 2.a.b)

Siendo (a – b) ³ = (a – b) ². (a – b)

(a ² + b ² – 2.a.b) (a – b) =

(a ² + b ² – 2.a.b). a – (a ² + b ² – 2.a.b). b

Multiplicando el contenido de los paréntesis, primero por “a”, y luego por “b”:

(a ³ + a. b ² – 2. a ². b) – (a ². b + b ³ – 2. a. b ²) = Todo ello, sin olvidar que al quitar los paréntesis, que tienen delante el signo “menos” (-), cambia de signo todo el contenido de dentro del paréntesis; quedando la expresión de la siguiente forma:

a ³ – 3. a ². b + 3. a. b ² – b ³

A la hora de enunciarla, diremos:

El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

A nivel práctico, si nos fijamos en la primera expresión -el cubo de la suma de dos números-, veremos que la segunda -el cubo de la diferencia-, es igual salvo los dos signos menos situados al principio y al final respectivamente; es decir:

El cubo de la suma: a ³ + 3.a ².b + 3.a. b ² + b

El cubo de la diferencia: a ³ – 3. a ². b + 3. a. b ² – b ³

¿ENTENDIDO?

¡Pues, bueno…! ¿No sería mejor hacer los EJERCICIOS DE POTENCIACIÓN?

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